Exercice 1 : Calculs de fractions
1. Calcul de A et B
Les deux expressions \( A \) et \( B \) sont identiques :
\[ A = B = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \]
2. Calcul de C
\[ C = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{9}{12}\right) = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \]
3. Calcul de D
\[ D = -\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = -\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{17}{12} \]
4. Calcul de E
\[ E = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{2}{5}} = \frac{2}{\frac{5}{15} + \frac{6}{15}} = \frac{2}{\frac{11}{15}} = 2 \times \frac{15}{11} = \frac{30}{11} \]
5. Calcul de F
\[ F = \frac{1\frac{4}{5}}{3 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{15}{5} + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{9}{17} \]
6. Calcul de G
\[ G = \frac{\frac{7}{2} + \frac{1}{3}}{8} = \frac{\frac{21}{6} + \frac{2}{6}}{8} = \frac{\frac{23}{6}}{8} = \frac{23}{48} \]
7. Calcul de H
\[ H = \frac{\frac{4}{3} - \frac{6}{7}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{28}{21} - \frac{18}{21}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{10}{21}}{\frac{3}{8}} = \frac{10}{21} \times \frac{8}{3} = \frac{80}{63} \]
8. Calcul de I
L'expression \( I \) est complexe. On la décompose en deux parties :
\[ I = \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{5}}{4 + \frac{2}{5}} \div \frac{\frac{4}{5} - \frac{6}{7}}{\frac{7}{5} + \frac{3}{7}} \]
Calculons chaque partie séparément :
- Numérateur :
\[ \frac{3}{2} - \frac{2}{5} = \frac{15}{10} - \frac{4}{10} = \frac{11}{10} \]
\[ 4 + \frac{2}{5} = \frac{20}{5} + \frac{2}{5} = \frac{22}{5} \]
\[ \frac{\frac{11}{10}}{\frac{22}{5}} = \frac{11}{10} \times \frac{5}{22} = \frac{1}{4} \]
- Dénominateur :
\[ \frac{4}{5} - \frac{6}{7} = \frac{28}{35} - \frac{30}{35} = -\frac{2}{35} \]
\[ \frac{7}{5} + \frac{3}{7} = \frac{49}{35} + \frac{15}{35} = \frac{64}{35} \]
\[ \frac{-\frac{2}{35}}{\frac{64}{35}} = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32} \]
- Division finale :
\[ I = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{32}} = \frac{1}{4} \times (-32) = -8 \]
9. Calcul de J
\[ J = \left(\frac{5}{7} - \frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{15}{21} - \frac{7}{21}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{6}{4}\right) = \frac{8}{21} \times \frac{7}{4} = \frac{56}{84} = \frac{2}{3} \]
### Exercice 2 : Rendre rationnel le dénominateur
1. Rendre rationnel le dénominateur
a. \( A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\[ A = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
b. \( B = \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}}} \)
Simplifions d'abord le dénominateur intérieur :
\[ 1 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2}) + 2}{1 + \sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \]
Maintenant, \( B \) devient :
\[ B = \frac{2}{\frac{3 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}} = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{3 + \sqrt{2}} \]
Rendons maintenant le dénominateur rationnel :
\[ B = \frac{2(1 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{2(3 - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2)}{9 - 2} = \frac{2(1 + 2\sqrt{2})}{7} = \frac{2 + 4\sqrt{2}}{7} \]
c. \( C = \frac{3}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \)
\[ C = \frac{3(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 - 3} = -3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \]
d. \( D = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \)
\[ D = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3} \]
2. Simplification des expressions
a. \( A = -2\sqrt{8} - 5\sqrt{32} + 5\sqrt{16} - \sqrt{18} \)
Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
Donc :
\[ A = -2 \times 2\sqrt{2} - 5 \times 4\sqrt{2} + 5 \times 4 - 3\sqrt{2} = -4\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 20 - 3\sqrt{2} = -27\sqrt{2} + 20 \]
b. \( B = \frac{\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{80}}{\sqrt{135} - \sqrt{35}} \)
Simplifions les radicaux :
\[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \quad \sqrt{45} = 3\sqrt{5}, \quad \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]
\[ \sqrt{135} = 3\sqrt{15}, \quad \sqrt{35} = \sqrt{35} \]
Donc :
\[ B = \frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{3\sqrt{15} - \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{15} - \sqrt{35}} \]
Rendons le dénominateur rationnel :
\[ B = \frac{\sqrt{5}(3\sqrt{15} + \sqrt{35})}{(3\sqrt{15} - \sqrt{35})(3\sqrt{15} + \sqrt{35})} = \frac{3\sqrt{75} + \sqrt{175}}{9 \times 15 - 35} = \frac{15\sqrt{3} + 5\sqrt{7}}{100} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{20} \]
c. \( C = \sqrt{3(3\sqrt{3} - 2)^2} - \sqrt{4(1 - \sqrt{3})^2} \)
\[ C = \sqrt{3} \times |3\sqrt{3} - 2| - 2 \times |1 - \sqrt{3}| \]
Évaluons les valeurs absolues :
- \( 3\sqrt{3} \approx 5.196 > 2 \) donc \( |3\sqrt{3} - 2| = 3\sqrt{3} - 2 \)
- \( \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 \) donc \( |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 \)
Ainsi :
\[ C = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2) - 2(\sqrt{3} - 1) = 9 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 2 = 11 - 4\sqrt{3} \]
### Exercice 3 : Développement et factorisation
1. Développement
a. \( A = \left(x - \sqrt{2}\right)^3 \)
Utilisons la formule \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) :
\[ A = x^3 - 3x^2\sqrt{2} + 3x \times 2 - 2\sqrt{2} = x^3 - 3\sqrt{2}x^2 + 6x - 2\sqrt{2} \]
b. \( B = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 - \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 \)
C'est une différence de carrés :
\[ B = \left(\frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{2}\right)\left(\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{2}\right) = \left(\frac{2y}{2}\right)\left(\frac{2x}{2}\right) = xy \]
c. \( C = (x + 1)^3 - (x - 1)^3 \)
Développons chaque cube :
\[ (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Donc :
\[ C = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 6x^2 + 2 \]
d. \( D = (x - 3)^2 + (2x + 1)(2x - 1) + 1 \)
Développons chaque terme :
\[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
\[ (2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1 \]
Donc :
\[ D = x^2 - 6x + 9 + 4x^2 - 1 + 1 = 5x^2 - 6x + 9 \]
2. Factorisation
a. \( E = (3x + 1)(3x - 2) - (3x - 5)^2 \)
Développons chaque partie :
\[ (3x + 1)(3x - 2) = 9x^2 - 6x + 3x - 2 = 9x^2 - 3x - 2 \]
\[ (3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25 \]
Donc :
\[ E = (9x^2 - 3x - 2) - (9x^2 - 30x + 25) = 27x - 27 = 27(x - 1) \]
b. \( F = (x + 1)^3 - x^2 + 1 \)
\[ F = (x + 1)^3 - (x^2 - 1) = (x + 1)^3 - (x - 1)(x + 1) = (x + 1)\left[(x + 1)^2 - (x - 1)\right] \]
\[ = (x + 1)(x^2 + 2x + 1 - x + 1) = (x + 1)(x^2 + x + 2) \]
c. \( G = 4(x - 1)^2 - 1 \)
C'est une différence de carrés :
\[ G = [2(x - 1) - 1][2(x - 1) + 1] = (2x - 3)(2x - 1) \]
d. \( H = x^3 + 1 \)
Formule du cube :
\[ H = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
e. \( I = (x^2 - 6x)^3 - (x^2 - 6x) \)
Factorisons par \( (x^2 - 6x) \) :
\[ I = (x^2 - 6x)\left[(x^2 - 6x)^2 - 1\right] = (x^2 - 6x)(x^2 - 6x - 1)(x^2 - 6x + 1) \]
f. \( J = x^3 + 3x^2 + 3x - (x^2 - 1) + 1 \)
Simplifions :
\[ J = x^3 + 3x^2 + 3x - x^2 + 1 + 1 = x^3 + 2x^2 + 3x + 2 \]
Factorisons (par exemple en cherchant une racine évidente \( x = -1 \)) :
\[ J = (x + 1)(x^2 + x + 2) \]
### Exercice 4 : Valeur absolue
1. Écrire sans valeur absolue
a. \( A = |-100| = 100 \)
b. \( B = |100| = 100 \)
c. \( C = |\sqrt{2} - 1| \)
Comme \( \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 \), \( C = \sqrt{2} - 1 \).
d. \( D = |2 - \sqrt{2 - \sqrt{5}}| \)
Évaluons \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), donc \( 2 - \sqrt{5} \approx -0.236 \). Ainsi, \( \sqrt{2 - \sqrt{5}} \) n'est pas réel. Il y a peut-être une erreur dans l'expression.
e. \( E = |\pi - 3.2| \)
Comme \( \pi \approx 3.1416 < 3.2 \), \( E = 3.2 - \pi \).
f. \( G = \left|\frac{5 - \sqrt{17}}{2}\right| \)
Calculons \( \sqrt{17} \approx 4.123 > 5 \), donc \( 5 - \sqrt{17} < 0 \). Ainsi :
\[ G = \frac{\sqrt{17} - 5}{2} \]
2. Écrire sans radical
a. \( I = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| \)
Comme \( \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 \), \( I = \sqrt{3} - 1 \).
b. \( J = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |1 - \sqrt{2}| \)
Comme \( \sqrt{3} > \sqrt{2} \) et \( \sqrt{2} > 1 \), \( J = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{3} - 1 \).
### Exercice 5 : Résolution d'équations avec valeurs absolues
a. \( |x - 6| = 3 \)
Deux cas :
1. \( x - 6 = 3 \Rightarrow x = 9 \)
2. \( x - 6 = -3 \Rightarrow x = 3 \)
Solutions : \( x \in \{3, 9\} \).
b. \( |x - 4| + 1 = 5 \)
\[ |x - 4| = 4 \]
Deux cas :
1. \( x - 4 = 4 \Rightarrow x = 8 \)
2. \( x - 4 = -4 \Rightarrow x = 0 \)
Solutions : \( x \in \{0, 8\} \).
c. \( \left|\frac{3}{5}x - 1\right| = \left|x + \frac{1}{3}\right| \)
Deux cas :
1. \( \frac{3}{5}x - 1 = x + \frac{1}{3} \Rightarrow -\frac{2}{5}x = \frac{4}{3} \Rightarrow x = -\frac{10}{3} \)
2. \( \frac{3}{5}x - 1 = -\left(x + \frac{1}{3}\right) \Rightarrow \frac{3}{5}x - 1 = -x - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{8}{5}x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{12} \)
Solutions : \( x \in \left\{-\frac{10}{3}, \frac{5}{12}\right\} \).
d. \( \left|\frac{x + 3}{x + 1}\right| = 3 \)
Deux cas :
1. \( \frac{x + 3}{x + 1} = 3 \Rightarrow x + 3 = 3x + 3 \Rightarrow 0 = 2x \Rightarrow x = 0 \)
2. \( \frac{x + 3}{x + 1} = -3 \Rightarrow x + 3 = -3x - 3 \Rightarrow 4x = -6 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \)
Vérifions les dénominateurs :
- Pour \( x = 0 \), \( x + 1 = 1 \neq 0 \)
- Pour \( x = -\frac{3}{2} \), \( x + 1 = -\frac{1}{2} \neq 0 \)
Solutions : \( x \in \left\{-\frac{3}{2}, 0\right\} \).
e. \( \sqrt{(3x + 2)^2} = 1 \)
\[ |3x + 2| = 1 \]
Deux cas :
1. \( 3x + 2 = 1 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)
2. \( 3x + 2 = -1 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Solutions : \( x \in \left\{-1, -\frac{1}{3}\right\} \).
### Exercice 6 : Intervalles
1. Intersection et union d'intervalles
a. \( I = ]-2, 6] \) et \( J = [-3, +\infty[ \)
- \( I \cap J = ]-2, 6] \)
- \( I \cup J = [-3, +\infty[ \)
b. \( I = ]1, 4[ \) et \( J = [5, 10] \)
- \( I \cap J = \emptyset \)
- \( I \cup J = ]1, 4[ \cup [5, 10] \)
c. \( I = ]1, 4] \) et \( J = [4, +\infty[ \)
- \( I \cap J = \{4\} \)
- \( I \cup J = ]1, +\infty[ \)
d. \( I = ]-\infty, 7] \) et \( J = [-4, +\infty[ \)
- \( I \cap J = [-4, 7] \)
- \( I \cup J = \mathbb{R} \)
2. Traduction d'inégalités en intervalles
a. \( x \leq 3 \) : \( ]-\infty, 3] \)
b. \( x > -2 \) : \( ]-2, +\infty[ \)
c. \( -3 \leq x \leq 6 \) : \( [-3, 6] \)
d. \( 2 \leq x < 5 \) : \( [2, 5[ \)
3. Traduction d'intervalles en inégalités
a. \( x \in [-1, 3] \) : \( -1 \leq x \leq 3 \)
b. \( x \in ]-\infty, 1] \) : \( x \leq 1 \)
c. \( x \in ]2, +\infty[ \) : \( x > 2 \)
### Exercice 7 : Résolution d'inéquations avec valeurs absolues
a. \( |6 - x| \leq 3 \)
\[ -3 \leq 6 - x \leq 3 \]
\[ -9 \leq -x \leq -3 \]
\[ 3 \leq x \leq 9 \]
Solution : \( [3, 9] \).
b. \( |2 + x| \geq 5 \)
\[ 2 + x \leq -5 \text{ ou } 2 + x \geq 5 \]
\[ x \leq -7 \text{ ou } x \geq 3 \]
Solution : \( ]-\infty, -7] \cup [3, +\infty[ \).
c. \( |x - 3| - 1 < 0 \)
\[ |x - 3| < 1 \]
\[ -1 < x - 3 < 1 \]
\[ 2 < x < 4 \]
Solution : \( ]2, 4[ \).
d. \( |x + 4| + 1 > 5 \)
\[ |x + 4| > 4 \]
\[ x + 4 < -4 \text{ ou } x + 4 > 4 \]
\[ x < -8 \text{ ou } x > 0 \]
Solution : \( ]-\infty, -8[ \cup ]0, +\infty[ \).
e. \( |1 - x| - 2 \leq -1 \)
\[ |1 - x| \leq 1 \]
\[ -1 \leq 1 - x \leq 1 \]
\[ -2 \leq -x \leq 0 \]
\[ 0 \leq x \leq 2 \]
Solution : \( [0, 2] \).
f. \( \sqrt{(1 - x)^2} < 7 \)
\[ |1 - x| < 7 \]
\[ -7 < 1 - x < 7 \]
\[ -8 < -x < 6 \]
\[ -6 < x < 8 \]
Solution : \( ]-6, 8[ \).
2. Systèmes d'inéquations
a.
\[
\begin{cases}
x + 2 > 5 \\
x - 3 < 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x > 3 \\
x < 5
\end{cases}
\]
Solution : \( ]3, 5[ \).
b.
\[
\begin{cases}
2x + 3 \leq 5 \\
-x - 3 < 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
2x \leq 2 \\
-x < 5
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \leq 1 \\
x > -5
\end{cases}
\]
Solution : \( ]-5, 1] \).
### Exercice 8 : Problèmes de mise en équation
1. Âge de la mère et de la fille
Soit \( x \) l'âge de la fille aujourd'hui. La mère a \( x + 15 \) ans.
Dans 10 ans :
\[ \text{Âge de la mère} = x + 25 \]
\[ \text{Âge de la fille} = x + 10 \]
Selon l'énoncé :
\[ x + 25 = 2(x + 10) \]
\[ x + 25 = 2x + 20 \]
\[ -x = -5 \]
\[ x = 5 \]
Âge de la mère : \( 5 + 15 = 20 \) ans.
*Note : Il semble étrange que la mère ait 20 ans et la fille 5 ans. Peut-être une erreur dans l'énoncé ou les données.*
2. Somme décaissée
Soit \( S \) la somme décaissée.
Dépenses :
- Ciment : \( \frac{1}{4}S \)
- Fer : \( \frac{2}{5}S \)
Reste :
\[ S - \left(\frac{1}{4}S + \frac{2}{5}S\right) = 49000 \]
\[ S - \left(\frac{5}{20}S + \frac{8}{20}S\right) = 49000 \]
\[ S - \frac{13}{20}S = 49000 \]
\[ \frac{7}{20}S = 49000 \]
\[ S = 49000 \times \frac{20}{7} = 140000 \text{ F CFA} \]
### Exercice 9 : Inéquations
1.
\[ \frac{3}{4}x - \frac{1}{5} < 2x + 5 \]
Multiplions par 20 pour éliminer les dénominateurs :
\[ 15x - 4 < 40x + 100 \]
\[ -25x < 104 \]
\[ x > -\frac{104}{25} \]
2.
\[ 2x - \frac{2}{5} > 3x \]
\[ -x > \frac{2}{5} \]
\[ x < -\frac{2}{5} \]
### Exercice 10 : Équations et inéquations avec racines carrées
1. \( \sqrt{2x^2 - 8} = x - 2 \)
Conditions :
1. \( 2x^2 - 8 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2 \)
2. \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
Élevons au carré :
\[ 2x^2 - 8 = x^2 - 4x + 4 \]
\[ x^2 + 4x - 12 = 0 \]
Solutions :
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]
\[ x = 2 \text{ ou } x = -6 \]
Seule \( x = 2 \) est valide (car \( x \geq 2 \) et \( -6 \not\geq 2 \)).
2. \( \sqrt{2x^2 - x + 1} = \sqrt{3x + 1} \)
Conditions :
1. \( 2x^2 - x + 1 \geq 0 \) (toujours vrai car discriminant négatif)
2. \( 3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3} \)
Élevons au carré :
\[ 2x^2 - x + 1 = 3x + 1 \]
\[ 2x^2 - 4x = 0 \]
\[ 2x(x - 2) = 0 \]
Solutions :
\[ x = 0 \text{ ou } x = 2 \]
Les deux sont valides.
3. \( \sqrt{-2x^2 + 5x + 3} \leq 2x + 1 \)
Conditions :
1. \( -2x^2 + 5x + 3 \geq 0 \)
Racines : \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-4} = \frac{-5 \pm 7}{-4} \)
\( x = 3 \) ou \( x = -\frac{1}{2} \)
Parabole tournée vers le bas : \( x \in \left[-\frac{1}{2}, 3\right] \)
2. \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \)
Élevons au carré :
\[ -2x^2 + 5x + 3 \leq 4x^2 + 4x + 1 \]
\[ -6x^2 + x + 2 \leq 0 \]
Racines :
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{-12} = \frac{-1 \pm 7}{-12} \]
\( x = \frac{2}{3} \) ou \( x = -\frac{1}{2} \)
Parabole tournée vers le bas : \( x \leq -\frac{1}{2} \) ou \( x \geq \frac{2}{3} \)
Intersection avec les conditions :
- \( x \in \left[-\frac{1}{2}, 3\right] \) et \( x \geq -\frac{1}{2} \) et \( x \leq -\frac{1}{2} \) ou \( x \geq \frac{2}{3} \)
- Donc \( x = -\frac{1}{2} \) ou \( x \in \left[\frac{2}{3}, 3\right] \)
4. \( \sqrt{2x^2 - 3x - 5} > 5 - x \)
Conditions :
1. \( 2x^2 - 3x - 5 \geq 0 \)
Racines : \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4} \)
\( x = \frac{5}{2} \) ou \( x = -1 \)
Parabole tournée vers le haut : \( x \leq -1 \) ou \( x \geq \frac{5}{2} \)
2. \( 5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \)
Cas 1 : \( 5 - x < 0 \) (i.e. \( x > 5 \))
L'inégalité est vraie car la racine est toujours positive.
Mais \( x > 5 \) n'est pas dans le domaine de validité (car \( x \geq \frac{5}{2} \) et \( x \leq 5 \)). Donc pas de solution ici.
Cas 2 : \( 5 - x \geq 0 \) (i.e. \( x \leq 5 \))
Élevons au carré :
\[ 2x^2 - 3x - 5 > 25 - 10x + x^2 \]
\[ x^2 + 7x - 30 > 0 \]
Racines :
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{-7 \pm 13}{2} \]
\( x = 3 \) ou \( x = -10 \)
Parabole tournée vers le haut : \( x < -10 \) ou \( x > 3 \)
Intersection avec les conditions :
- \( x \leq -1 \) ou \( x \geq \frac{5}{2} \)
- \( x \leq 5 \)
- \( x < -10 \) ou \( x > 3 \)
Donc :
- \( x < -10 \) (mais \( x \leq -1 \) et \( x < -10 \) implique \( x < -10 \))
- \( 3 < x \leq 5 \) et \( x \geq \frac{5}{2} \) implique \( \frac{5}{2} \leq x \leq 5 \)
Solution finale :
\[ x \in ]-\infty, -10[ \cup \left[\frac{5}{2}, 5\right] \]
### Exercice 11 : Systèmes d'inéquations et optimisation
1. Résolution du système
\[
\begin{cases}
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
3x + 2y \leq 75 \\
x + 2y \leq 36 \\
2x + 3y \leq 60
\end{cases}
\]
Trouvons les points d'intersection :
- Intersection de \( 3x + 2y = 75 \) et \( x + 2y = 36 \) :
\( 2x = 39 \Rightarrow x = 19.5 \), \( y = 8.25 \)
- Intersection de \( 3x + 2y = 75 \) et \( 2x + 3y = 60 \) :
Résolution donne \( x = 21 \), \( y = 6 \)
- Intersection de \( x + 2y = 36 \) et \( 2x + 3y = 60 \) :
Résolution donne \( x = 12 \), \( y = 12 \)
Vérifions la validité de chaque point dans toutes les inéquations.
2. Problème du fleuriste
a. Système d'inéquations
Contraintes :
- Roses : \( 6x + 4y \leq 150 \)
- Gerberas : \( 3x + 6y \leq 108 \)
- Gypsophiles : \( 2x + 3y \leq 60 \)
Ainsi que \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \).
Simplifions :
- Roses : \( 3x + 2y \leq 75 \)
- Gerberas : \( x + 2y \leq 36 \)
- Gypsophiles : \( 2x + 3y \leq 60 \)
C'est le même système que précédemment.
b. Bénéfice
\[ B = 18x + 30y \]
c. Optimisation
Évaluons \( B \) aux points d'intersection :
- \( (0, 0) \) : \( B = 0 \)
- \( (0, 18) \) (intersection \( y \)-axe et \( x + 2y = 36 \)) : \( B = 540 \)
- \( (12, 12) \) : \( B = 18 \times 12 + 30 \times 12 = 576 \)
- \( (19.5, 8.25) \) : \( B = 18 \times 19.5 + 30 \times 8.25 = 351 + 247.5 = 598.5 \)
- \(
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